Поиск по сайту:
Главная страница » Каталог статей » О метрологии » Митрохин А.Н., "Качественная единица как элемент размерностного анализа или к вопросу о размерности "безразмерных" величин"

Качественная единица как элемент размерностного анализа или к вопросу о размерности "безразмерных" величин




Для разъяснений целесообразно   обратиться    к   нормативным документам    по    метрологии.    В действующем с 01.01.2001 г. межгосударственных    рекомендациях РМГ 29-99 [11] существование безразмерной величины узаконено  и предложено следующее ее толкование: безразмерная величина физическая величина, укоторой показатель степени основных величин равен нулюМожет ли снять вышеозначенные проблемы приведенное в РМГ 29-99 определение    безразмерной    величины, идентично существовавшему    ранее в ГОСТ 16263-70 [23]?

Из рассмотренных выше примеров ясно, что проблемы не решаются и "бриджменовский" вопрос сейчас столь же актуален, как и прежде. Новые рекомендации, следуя по накатанной дороге, не расстались со старым багажом — документ хотя и нов, а содержание осталось прежним. В этом отношении показательна статья [21], в которой, дискутируя с [12], а также другими авторами, сделана попытка разрешения имеющихся неувязок и противоречий на основе сохранения прежних подходов. Как и следовало ожидать, рамки существующей    метрологической     парадигмы не позволили это сделать. Несмотря на ждущий своего разрешения "бриджменовский" вопрос, перед нами в статье [21] мелькают все те же безразмерные величины (условно безразмерные, абсолютно безразмерные), безразмерные единицы измерений. Статья изобилует терминами, связанными с понятием "единица" (насчитывается около двух десятков терминов), в том числе: безразмерная единица, арифметическая единица, естественная единица, единица абсолютной шкалы, радианная единица и т.д., что не способствует пониманию материала.

Рекомендуемая в [21] теория шкал, построенная на основе объединения безразмерных величин и как бы противопоставляемая СИ, в данном случае мало помогает. Поэтому не только содержание статьи, но уже ее заголовок вызывает вопросы.

Во-первых, непонятно о чем идет речь, то ли о единицах измерений, то ли о числовых единицах различных множеств, которые, как отмечалось выше, нет нужды называть безразмерными.

Во-вторых, если под "единицами" подразумеваются единицы измерений, которые вряд ли могут быть безразмерными, то авторы совершают большую ошибку, отождествляя понятия "единица" и "единица измерения". Это равносильно тому, как если бы, например, идиоматический оборот "Ахиллесова пята" заменить словом "пята", смысл в обоих случаях получается различный, подробно этот вопрос автором рассмотрен в [7].

Анализируя полемику в [21], а также исходя из собственного опыта обкатки содержания работ [2, 17], возникает ощущение, что некоторые оппоненты от метрологии, из числа не сомневающихся в существовании безразмерных величин, имеют дело не со зрелыми специалистами, которым имеющиеся в стандартах неувязки мешают в практической работе при использовании единиц измерений, а слабо успевающими подростками, едва осилившими начальный курс математики и физики, и которых надо еще учить и учить уму-разуму, поскольку они и этого не знают, и того не понимают.

Вышеизложенное показывает, что в науке на стыке таких дисциплин как метрология, математика, физика существует ряд «белых пятен», препятствующих адекватному описанию окружающей нас действительности, и одним из них является термин - понятие безразмерная величина. Складывается впечатление, что в "большой" науке к этому важному и отнюдь не лингвистическому вопросу относятся по принципу персонажа из рассказа А.П.Чехова «Письмо к ученому соседу»: «и зачем ... пятны, если и без них можно обойтиться».

Что же следует понимать под «безразмерностью»Скорее  всего, это чистая условность,   какая существует,   например, в русском языке в названиях безымянный палец или железнодорожная станция Безымянка Куйбышевской железной  дороги.  Для  подтверждения этой условности в точных науках прислушаемся    к      следующему рассуждению        Л.И.Седова,   известного отечественного ученого, много уделявшего в  своих трудах вопросам  анализа  размерностей физических величин [4, с. 13]:

«Подразделение величин на размерные и безразмерные является до некоторой степени делом условности. Так, например, угол мы называембезразмерной величиной. Но известно, что углы можно измерять в радианах, в градусах, в долях прямого угла, т.е. в различных единицах. Следовательно, число, определяющее угол, зависит от выбора единицы измерения. Поэтому угол можно рассматривать и как величину размерную».

Эта условность, как уже было отмечено выше, состоит сейчас в том, что физические величины могут оказаться «безразмерными» при переводе в другую размерностную систему [11]. Все это свидетельствует о шаткости границ между размерными и «безразмерными» величинами.

Имеющийся «размерно-безразмерный» дуализм, несомненно, противоречит основным законам логики, т.к. понятия взаимоисключают друг друга, физическая величина не может быть одновременно размерной и «безразмерной».

Подобное положение несколько напоминает ситуацию в физике, когда ученые, изучая закономерности микромира, впервые столкнулись с дуализмом фотона, который в одних случаях проявлял свойства волны, а в других - свойства частицы.

Откуда возникают безразмерные величины? У истоков их появления стоит, что подтверждается приведенной выше выдержкой из [22], математика, а точнее математическая операция деления, которую следует рассмотреть более внимательно, более придирчиво. Как известно, начиная с первых классов начальной школы, математика, в образе учителя математики, приучает нас к мысли, что математические операции (счет, сложение, вычитание, деление и др.) являются операциями над числами.

Например, в толковом математическом словаре [24] говорится, что арифметика, являющаяся основанием математики, - это часть математики, изучающая числа и простейшие действия над ними. Такое же определение содержится в учебнике первого класса начальной школы, при пользовании которым ученику в процессе обучения прививается мысль, что арифметика изучает числа и действия над ними [25].

В науке принято считать,  что математические величины — суть действительные числа [26, т.4; 27, т.1; 28, с.112] и поэтому математика предпочитает заниматься только числами. Анализ размерностей при этом отделен от математики, и по мнению математиков, а точнее «чистых» математиков, это дело физики, метрологии или какой-либо другой ветви науки. Однако, всем нам хорошо известно, что при решении конкретных задач (бытовых, инженерных, научных), например при делении величин, необходимо осуществлять два параллельных математических действия — деление чисел и деление (взаимодействие) размерностей. В случае неоднородности единиц измерений числителя и знаменателя происходит своеобразное сращивание размерностей, объединяемых знаками деления или умножения.

Математическая операция деления в привычном для нас приложении к числам плохо подходит к тому, что происходит в этом случае с размерностями. По сути, никакого деления здесь не наблюдается. Скорее это можно назвать взаимодействием в математическом смысле (подобно тому, как, например, в химических реакциях происходит слияние или разделение атомов и молекул, в результате чего возникают новые свойства веществ) и поэтому автор статьи не смог подобрать лучшего термина в названии [2]. Об этой проблеме свидетельствует полемика ученых в книге П.Бриджмена [3, прил. к гл. 2].

В результате этого математического сращивания возникают новые понятия, новые размерности, что хорошо видно на примере образования единиц измерений скорости движения.

В случае одинаковости единиц измерений при делении происходит их сокращение и формально по существующим математическим правилам мы получаем в результате деления чистое   «безразмерное» число.

Но, как показано выше, результат деления математических величин все же не является только числом, частное от деления несет, кроме количественной оценки, и качественное содержание, ассоциируемое у прикладников с безразмерной величиной.

Рассматривая пути решения неувязок понятийного аппарата точных наук и анализируя уравнения математической физики, приходим к выводу, что математические операции следует рассматривать не только как операции над числами, но как операции над математическими величинами, состоящими из числовой и размерностной частей [2].

В силу этого предложено размерностный анализ отнести к математике, он должен стать ее естественной и неотъемлемой частью, поскольку в обоих случаях действуют законы математики, хотя алгебра операций с числами и размерностями различна. Такой подход дает дополнительные возможности для решения имеющихся неувязок, включая проблему безразмерных величин. Одна из таких возможностей состоит в четком различении числовой единицы и качественной (размерностной) единицы, отражающей взаимодействие однородных единиц измерений в операции деления, что более подробно рассмотрено в [2,17].

Для пояснения вернемся к арифметической задаче, помещенной в начале статьи, решение которой получено в виде 100 см/10 см=10=10 дециметров. Из равенства следует, что после сокращения единиц измерений делимого и делителя исчезновения размерности не происходит (что, заметим, хорошо согласуется с законами сохранения), в последующих рассуждениях мы видим ее «возрождение», поэтому желательно каким-то образом отразить  промежуточный результат  этого   взаимодействия, представленный числом 10. Таким средством     может    стать    качественная    единица, отражающая результат  сокращения   размерностей.   Поэтому  вышеприведенное равенство примет вид    100 [см] / 10 [см] =10[1]=10 [дециметров]. Таким образом, при делении однородных  математических  величин мы   получаем   не  безразмерностное   количественное  содержание, но полновесную  математическую величину,  состоящую  из  количественной (числа) и качественной (размерности)   частей,   хотя   для представления качественной части математике явно не хватает более эффективных, с точки зрения   последующей расшифровки их субъектом исследования, средств. При наличии    качественной   единицы математика,   имея   ограниченные возможности,  предоставляет право самому субъекту исследования принимать решение в зависимости от  поставленных  вопросов о характере  смыслового  содержания (характере размерности)  математической   величины.   Это   свидетельствует о том, что качественная единица    по своему внутреннему содержанию многолика, и суть ее содержания, несмотря на форму, не количество, а качество, т.е. размерность.  Аналогичные рассуждения  будут справедливы в отношении любой другой математической величины, разумеется мы придем к тем же выводам.

Качественная (размерностная) единица, отражающая взаимодействие размерностей при выполнении операции деления над однородными математическими величинами, вносит существенные коррективы в понимание сущности операции деления.

Во-первых, она исключает «безразмерность» результатов деления математических величин, тем самым давая серьезные основания для избавления от безразмерных величин.

Во-вторых, принимая во внимание, что алгебра операций с символами размерностей отличается от обычной алгебры, некоторые формулы размерностного анализа предстанут перед нами в новом виде.

Вернуться Страница 2 из 6 Следующая

Добавить комментарий


Главная страница » Каталог статей » О метрологии » Митрохин А.Н., "Качественная единица как элемент размерностного анализа или к вопросу о размерности "безразмерных" величин"