Поиск по сайту:
Главная страница » Каталог статей » Статьи о погрешности » Цыбульский О.А., "Сравнение характеристик линейного и дробно-линейного (проективного) аналого-цифровых преобразований"

Сравнение характеристик линейного и дробно-линейного (проективного) аналого-цифровых преобразований




СКАЧАТЬ .pdf

Международный форум "Микроэлектроника-2017". 3-я Международная научная 
конференция "Электронная компонентная база и электронные модули" Сборник докладов. Республика Крым г. Алушта, 02-07 октября 2017 г.

НАНОИНДУСТРИЯ. Спецвыпуск 2018 (82) ТЕХНОСФЕРА, С.344-350


Цыбульский О.А. к.т.н, multimer@promservis.ru,+7(927)-834-1768

Приведены краткие данные по свойствам и характеристикам класса дробно-линейных АЦП в сравнении с линейными АЦП, которые являются частным случаем дробно-линейных АЦП. Получено уравнение и структура дробно-линейного аналого-цифрового преобразования, согласующее полосу погрешности квантования с полосой предельной погрешности. Показано преимущество применения дробно-линейного уравнения измерения по сравнению с линейным уравнением, при решении задач расширения диапазона измерения, увеличения отношения сигнал-шум квантования, снижения разрядности преобразователя, автоматической коррекции погрешности.
Ключевые слова: уравнение измерений, АЦП, дробно-линейная характеристика, погрешность квантования, предельная погрешность, критерий, SNR, корреция погрешности. 

Общее уравнение измерения дробно-линейных АЦП [1]


где a0 ,a1 ,b0 ,b1 - постоянные масштабные коэффициенты;
Х и Хon -измеряемая и опорная величины;
К -выходной код.

При b1=0 (1) станет линейным уравнением измерения. Но достаточно сделать b1≠0, чтобы получить дополнительные существенные преимущества по сравнению с линейным измерением.

Нормирование предельной относительной погрешности

В настоящее время предельная относительная погрешность измерения нормируется с помощью двухчленной формулы, которую можно представить в виде



где δа и δм  - аддитивная и мультипликативная составляющие; Хn -нижняя граница диапазона измерения.

При применении АЦП с линейной шкалой предельная относительная погрешность быстро растет с уменьшением Х из-за погрешности квантования. И часто именно рост погрешности квантования ограничивает диапазон измерения внизу шкалы и требует введение поддиапазонов. Чтобы этого не происходило, необходимо чтобы погрешность квантования изменялась по тому же закону, что и предельная погрешность прибора. Это достигается применением АЦП с экспоненциальной шкалой квантования [2]. Но, несмотря на преимущества шкалы с постоянной относительной погрешностью квантования, экспоненциальные АЦП до сих пор не получили широкого распространения. 

Чтобы получить аналогичный результат применением АЦП с линейной шкалой квантования, необходимо использовать дробно-линейное уравнение измерения (1).
Дробно-линейное АЦП преобразует линейную шкалу, уменьшая цену деления в начале шкалы и увеличивая ее в верхней части диапазона. Полоса предельной погрешности становится более равномерной, но из-за ее U-образной формы нормировать ее необходимо трехчленной формулой. На рис.1 приведены графики относительной погрешности квантования линейного АЦП и дробно-линейного АЦП, обеспечивающего «квазиравномерную» шкалу [1]. Закон изменения относительной погрешности квантования такого АЦП имеет вид (2) и включает в себя дополнительную третью составлющую погрешности, погрешность нелинейности.



где X, Xн, Xв – соответственно текущее значение измеряемой величины, нижняя и верхняя границы диапазона измерений;
N-число квантов шкалы.

В общем случае, трехчленная формула представления погрешности по диапазону измерения имеет вид


где  – составляющие, определяемые соответственно аддитивной погрешностью Δа и погрешностью нелинейности Δг (гиперболической составляющей) при X=Xв - верхней границе диапазона измерения.

Необходимость применения формулы (3) с тремя составляющими погрешности вызвана тем, что в приборах с широким диапазоном измерений становится существенной погрешность нелинейности, которую также необходимо учитывать при нормировании.
Третья составляющая предельной относительной погрешности, в отличие от аддитивной и мультипликативной составляющих, нормирует гиперболическую нелинейность функции преобразования прибора. Это наиболее часто встречающаяся в измерительных приборах нелинейность, поскольку она свойственна всем параметрическим (например, мостовым) измерительным преобразователям [3].

Параметрические измерительные преобразователи имеют дробно -линейную функцию преобразования [4], которая также присуща широкодиапазонным измерительным при борам [5]. Преобразование, осуществляемое дробно-линейной функцией относится к проективным преобразованиям, образующим группу, т. е. «каждую конечную последовательность преобразований можно заменить одним преобразованием этой же группы» [6]. Структурная схема широкодиапазонного измерительного прибора, как правило, состоит из последовательной цепочки линейных преобразователей. Существование в этой цепочке хотя бы одного преобразователя с дробно-линейной характеристикой сделает и результирующую характеристику также дробно-линейной. Признаком появления дробно-линейной зависимости в характеристике преобразования прибора является увеличение относительной погрешности в верхней части диапазона, в результате чего полоса предельной относительной погрешности приобретает U-образный вид (3). В широкодиапазонном приборе погрешность измерений минимальна при измеряемой величине, равной однозначной мере, например опорному напряжению или сопротивлению. С уменьшением или увеличением измеряемой величины относительно однозначной меры погрешность будет возрастать и может быть описана формулой (3).

Как следует из (2) свойства измерительной шкалы дробно-линейного АЦП определяются коэффициентами b0 и b1. Зададим значения коэффициентов а0=0 и а1=1, поскольку влияние этих коэффициентов одинаково для обоих типов преобразования.
Уравнение дробно линейного измерения в упрощенном виде можно записать как



Структурная схема дробно-линейного АЦП, соответствующая уравнению (4) изображена на Рис.2 [1]. Она отличается от структурной схемы линейного АЦП наличием сумматора на опорном входе. АЦП осуществляет сравнение измеряемого сигнала Х с линейной комбинацией измеряемого и опорного сигналов.



Характеристика преобразования дробно-линейного АЦП

В общем случае, характеристика дробно-линейного преобразования описывает равностороннюю гиперболу. С помощью коэффициентов a0 ,a1 ,b0 ,b1 уравнения измерения (1) можно выбрать в качестве характеристики аналого-цифрового преобразования любую ветвь равносторонней гиперболы.



На Рис. 3 приведены характеристики преобразования упрощенного уравнения измерения с функциями сжатия и расширения диапазона измерения:

  • При значении коэффициента b1=0 характеристика преобразования линейна.
  • При значении коэффициента b1 › 0 характеристика обеспечивает компрессию выходного кода К (сжатие динамического диапазона выходного сигнала К по сравнению с динамическим диапазоном входного сигнала Х).
  • При значении коэффициента b1˂0 характеристика преобразования расширяет динамический диапазон выходного кода К.


Необходимо отметить, что нелинейность характеристики определяется применением исключительно линейных преобразователей и с сохранением их точностных характеристик.
Это иллюстрируется на Рис. 4 и Рис 5.
Геометрическая интерпретация решения дробно-линейного уравнения (1), как решение системы двух линейных уравнений показана на Рис.4 В частном случае, при значении коэффициента
b1=0, получим решение линейного уравнения измерения.

Поскольку преобразования проективной геометрии основаны на дробно-линейной функции, то существует аналогия между проективным и измерительным преобразованием [7].
Поэтому к АЦП с дробно-линейной характеристикой применимо также название проективное АЦП. На Рис.5 приведены примеры геометрического преобразования (проекции), осуществляемого в Евклидовой геометрии и в проективной геометрии. В отличие от Евклидовой геометрии, в проективной геометрии проекция осуществляется не только параллельными лучами, но и лучами, исходящими из удаленной точки.

Рис.5 Различие характеристик преобразования Х в К при параллельном и центральном проецировании.

Центральное проективное преобразование (проецирование из удаленной точки) соответствует дробно-линейному измерительному преобразованию, в частном случае, параллельная проекция
(проецирование из бесконечно удаленной точки) соответствует линейному измерительному преобразованию. Эта связь позволяет применять математический аппарат проективной геометрии для анализа и синтеза схем проективных АЦП.
В таблице 1 приведены для сравнения выражения уравнений измерения, формулы изменения погрешности по диапазону для линейных и дробно-линейных преобразований, показывающие их взаимосвязь.

Таблица1



Как следует из таблицы 1, дробно-линейное преобразование включает в себя линейное преобразование в виде частного случая, и обеспечивает существенно более широкие функциональные возможности измерительного преобразования. Одной из таких возможностей является согласование полосы погрешности квантования с полосой предельной погрешности аналого-цифрового преобразования.

В [5,7] показано, что для адекватного представления предельной погрешности широкодиапазонных приборов без разбиения на поддиапазоны требуется учитывать погрешность от нелинейности характеристики прибора и задавать полосу предельной погрешности в виде формулы из трех составляющих (3).

В то время, как у АЦП с линейной шкалой квантования, имеющей постоянную по диапазону цену деления, полоса относительной погрешности квантования имеет вид 



Несоответствие полосы погрешности квантования линейной шкалы полосе предельной погрешности измерения прибора приводит к завышению разрядности применяемого АЦП, избыточной точности квантования в верхней части диапазона измерения и требует введения в прибор поддиапазонов.

Чтобы исключить эти недостатки необходимо, чтобы полоса погрешности квантования имела тот же закон изменения по диапазону, что и полоса предельной погрешности (3), т.е. чтобы погрешность квантования была пропорциональна предельной погрешности во всем диапазоне измерения.

В [8] показано, что для того чтобы полоса погрешности квантования была пропорциональна полосе предельной погрешности, нормированной трехчленной формулой (3), необходимо в общем случае, чтобы уравнение измерения имело дробно-линейный вид (1), а применяемый АЦП имел экспоненциальную (с постоянной относительной погрешностью) шкалу квантования.

Если задать погрешность квантования не меньше суммы прочих погрешностей (например, δХк = 0,5δХ ) , то можно полагать, что ни один квант такого прибора не будет избыточным. АЦП с такой шкалой квантования будет оптимальным по разрядности. Однако, АЦП с постоянной относительной погрешностью квантования до сих пор не получили того распространения, которое по мнению автора, они заслуживают. Поэтому рассмотрим возможность применения в дробно-линейном уравнении измерения АЦП с постоянной абсолютной погрешностью квантования.

При применении линейного АЦП (с постоянной абсолютной погрешностью квантования), полоса относительной погрешности квантования будет описываться выражением (5). Дробно-линейное уравнение измерение преобразует полосу (5) в (2), являющуюся частным случаем общей трехчленной формулы (3).

Поскольку после дробно-линейного преобразования шкала измеряемой величины отличается от шкалы выходного кода, в дальнейшем шкалу квантования измеряемой величины Х, осуществляемого аналого-цифровым преобразователем (АЦП) будем называть полосой погрешности квантования (Х), в отличие от безразмерной шкалы квантования управляемого масштабного преобразователя (ЦАП), входящего в состав АЦП, которую будем называть шкалой квантования (К).

Дробно-линейное уравнение измерения АЦП с линейной шкалой квантования 

Как показано в [9], выражение (2) соответствующее всем полосам погрешности квантования, получаемым на базе шкалы квантования К с постоянной ценой деления, т.е. на базе линейных АЦП, отличается от общего закона изменения предельной погрешности (3) только значением мультипликативной составляющей  δм .

Поэтому целесообразно аппроксимировать оптимальную полосу погрешности квантования (3) полосой (2), заменив АЦП с экспоненциальной шкалой квантования на АЦП с линейной шкалой квантования.

В способе аналого-цифрового преобразования [10] предложена структурная схема преобразования и дробно-линейное уравнение измерения, которые решают эту задачу. При условии 
уравнение измерения имеет вид


АЦП с уравнением (6) имеет полосу погрешности квантования (2), совпадающую с оптимальной полосой погрешности квантования (3) в граничных точках диапазона измерения.
Для определения динамического диапазона измерения аналого-цифрового преобразования с дробно-линейным уравнением измерения (6), воспользуемся выражением, полученным в [9].


где δХн , δХв - соответственно, относительные погрешности в нижней и верхней границах диапазона измерения; в N - число квантов шкалы.
Это выражение справедливо для всех приборов с дробно-линейным уравнением измерения и линейной шкалой квантования.
Выразим из (7) динамический диапазон измерений, при условии задания погрешности квантования Х в граничных точках шкалы измерений равной половине предельной погрешности,


Выражение (8) позволяет сравнивать динамические диапазоны дробно-линейных АЦП при различных значениях граничных относительных погрешностей квантования. Например, если при  Nв=4096, относительная погрешность квантования в нижней границе диапазона должна быть δХн =0,01, в верхней границе диапазона должна быть δХв =0,005, то из (8) получим D=40962*0,01*0,005+2≈840 .

Тот же расчет, проведенный для АЦП с линейной шкалой измерения, при которой δХв =1/4096, даст значение   Dл43. Т.е. согласование полосы погрешности квантования с полосой предельной погрешности с помощью дробно-линейного уравнения измерения позволяет, в данном примере, расширить динамический диапазон измерения в 19,5 раз.

Чтобы наглядней увидеть преимущества согласования полосы погрешности квантования с полосой предельной погрешности измерения при применении дробно-линейного аналого-цифрового преобразования, зададим в качестве примера полосу предельной погрешности в виде 



полоса погрешности квантования дробно-линейного АЦП, соответствующего уравнению измерения (6), имеет вид



полоса погрешности квантования линейного АЦП (5) имеет вид



В Таблице 2 показаны изменения погрешности квантования (10) для АЦП с линейной шкалой квантования в дробно-линейном уравнении измерения и погрешности квантования (11) для АЦП с линейной шкалой квантования в линейном уравнении, при полосе предельной погрешности измерения, нормированной трехчленным выражением (9). А также, приведены значения минимального количества квантов для каждого рассматриваемого случая, необходимых для получения полосы квантования в динамическом (относительном) диапазоне измерения 1:800. Расчет минимального необходимого количества квантов АЦП проводился по формуле (7).


Как следует из Таблицы 2, для того чтобы обеспечить полосу погрешности квантования (10):

  • прибору с дробно-линейным уравнением (6) потребуется 12-ти разрядный АЦП с линейной шкалой квантования (Nв=3992 квантов),
  • прибору с линейным уравнением потребуется 17-ти разрядный АЦП с линейной шкалой квантования (Nв=80000 квантов ).

Как при этом изменяется по шкале измеряемой величины относительная погрешность квантования, наглядно видно из Рис.6.

Рис.6 Изменение по шкале измеряемой величины относительной погрешности квантования линейного и дробно-линейного АЦП.

Структурная схема аналого-цифровых преобразователей с дробно-линейным уравнением измерения рассмотрена в [9]. Важным требованием, предъявляемым к АЦП для применения в дробно-линейном уравнении измерения, является допустимость изменения напряжения на опорном (ref) входе микросхемы в достаточно широком диапазоне. Этому требованию удовлетворяют преобразователи с умножающим ЦАП.

Для снижения энергопотребления во многих микроконтроллерах однополярное питание ограничено 5В. При этом напряжение на опорном входе может регулироваться не более, чем в 5 раз. Это позволяет только в 5 раз расширить диапазон измерения или снизить разрядность АЦП на два разряда, применив вместо линейного преобразования дробно-линейное. Этого ограничения не будет при применении специальных схемных решений, или при применении внешних микросхем умножающих АЦП и ЦАП, например, фирмы Analog Device и др. 

Чтобы уменьшить потребление энергии и время преобразования с помощью дробно-линейного измерения, необходимо снизить разрядность применяемого АЦП, создав компрессию выходного кода К (Рис.3). Работы по созданию компрессионных АЦП ведутся фирмами. Например, с помощью разработанной технологии сжатия сигнала компания ZeroWatt на порядок снизила потребление энергии своих компрессионных АЦП [11].

Отношение сигнал-шум квантования (SNR) дробно-линейного АЦП

Как следует из выражения (8), снизить погрешность квантования внизу шкалы и увеличить диапазон измерения при неизменном числе квантов, можно за счет увеличения относительной  погрешности квантования в верхней части шкалы, имеющей в АЦП с линейной шкалой избыточную точности квантования. При одинаковых знаках  b0 и b1  , цена деления шкалы измерений уменьшается внизу диапазона и растет вверху диапазона измерений в соответствии с формулой (2)

Благодаря этой трансформации можно повысить значение отношения сигнал-шум квантования (SNR) дробно-линейного АЦП по сравнению с линейным АЦП той же разрядности.
Как известно [12], значение отношения сигнал-шум рассчитывается по формуле 



где q-квант шкалы.
Из выражения (8), определим значение полного динамического диапазона  (Хв/q) , при значениях параметров  q=Хн ,  δХн =1,   Nв = 2n , где n-разрядность АЦП


Подставляя (13) в (12), получим выражение SNR для дробно-линейных АЦП



Из (14) следует, что если значение относительной погрешности квантования в верхней границе диапазона измерения δХв в дробно-линейном АЦП будет больше, чем 2-n , то значение его SNR будет больше, чем у линейного АЦП той же разрядности.

Например, для 12-ти разрядного АЦП при δХв = 0,01, в дробно-линейном АЦП получим

и, соответственно, при δХв =0,00025 для линейного АЦП получим


Таким образом, применение дробно-линейного уравнения измерения увеличивает отношение сигнал-шум квантования дробно-линейного АЦП по сравнению с применением линейного АЦП
той же разрядности.
Дробно-линейные АЦП с линейной шкалой квантования приближаются по эффективности формирования шкалы измерения к АЦП с экспоненциальной шкалой квантования, сохраняя при этом высокие технико-экономические характеристики используемого линейного АЦП.

Критерий разрешающей способности

Оценить преимущества дробно-линейного преобразования по сравнению с линейным позволяет критерий разрешающей способности, предложенный в работах Ф.Е Темникова [13] и 
П.В. Новицкого [3] для двухленной формулы нормирования предельной погрешности 



Для приборов предельная погрешность которых нормируется трехчленной формулой (3), предложен расширенный критерий [8].


Критерий разрешающей способности имеет понятный физический смысл, он определяет количество эффективных (реальных) квантов, на которые данный прибор может разделить диапазон измерений с заданной полосой предельной погрешности, т.е. сколько непересекающихся интервалов предельной абсолютной погрешности последовательно уложатся в диапазон измерений. Это ресурс, которым обладает прибор для проведения измерения, и чем больше Nэф, тем точней прибор. При этом критерий показывает взаимосвязь параметров шкалы измерений. При применении в приборе поддиапазонов измерений, количество эффективных квантов всего диапазона измерений равно сумме эффективных квантов всех поддиапазонов.

Автоматическая коррекция погрешности

В 80-х годах разработке информационно-структурных методов повышения точности измерительных устройств посвящали свои работы Алиев Т.М., Бромберг Э.М., Куликовский К.Л., Земельман М.А. и др.

Одним из наиболее широко применяемых структурных методов являются метод образцовых (тестовых) сигналов, в котором на вход измерительного устройства подаются дополнительные образцовые сигналы или линейные комбинации образцового и измеряемого сигнала. Эти методы позволяли легко скорректировать аддитивную и мультипликативную составляющие систематической погрешности. Но для коррекции нелинейности характеристики преобразования применялись только итерационные методы.

В [14] Мазиным В.Д. для коррекции погрешности измерительных параметрических преобразователей предложен метод сложного отношения (МСО), относящийся к методу образцовых сигналов, позволяющий скорректировать также нелинейную составляющую систематической погрешности. Метод сложного отношения использует аналогию между функциями параметрического и проективного преобразований, и основан на фундаментальном свойстве проективной геометрии – инварианте сложного отношения. Свойства МСО в применении к параметрическим преобразователям исследовались в работах Мазина В.Д. [14] и Герасимова А.И.

Свойства МСО в применении к дробно-линейному АЦ преобразованию исследовались в [15]. В работе показано, что дробно-линейная характеристика преобразования свойственна не только параметрическим преобразованиям, но и большинству широкодиапазонных измерительных приборов. Поэтому МСО применим также и к ним. Метод сложного отношения основан на постоянстве (инвариантности) величины сложного отношения четырех произвольных точек измерительной шкалы при их проективном (с дробно-линейной характеристикой) измерительном преобразовании.
Зададим на шкале измеряемой величины Х четыре произвольных точки    X1 , X2 , X3 , X.

Выполним преобразование прибором этих четырех точек шкалы и получим значения
выходных кодов К1 , К2 , К3 , К. Тогда будет выполнятся соотношение



Величина W сложного (двойного) отношения четырех точек шкалы является инвариантом проективного (дробно-линейного) преобразования, так как при любом проективном преобразовании шкалы Х в шкалу К сложное отношение произвольной группы четырех точек шкалы Х равно сложному отношению соответствующих точек шкалы К. По рассчитанному с помощью выходных кодов сложному отношению можно определить значение измеряемой величины Х по формуле 


Наиболее эффективно метод сложного отношения осуществляет коррекцию систематических составляющих погрешности. При этом, должны быть приняты меры по минимизации случайных составляющих погрешности.
В результате применения метода сложного отношения достигаются следующие результаты [16]:

  • Результирующая предельная относительная погрешность измерения методом сложного отношения задается погрешностью опорных сигналов Х1, Х2, Х3 и изменяется по шкале измеряемой величины в соответствии с трехчленной формулой (3).
  • Аддитивная, мультипликативная и гиперболическая (нелинейная) составляющие систематической погрешности измерительного прибора полностью корректируются при применении метода сложного отношения.

В целом, применение метода сложного отношения, позволяет рассматривать измерительный тракт прибора от входного сигнала до выходного кода , как «черный ящик», с дробно-линейной функцией преобразования. Это снимает повышенные требования к точности, стабильности элементов измерительного тракта и, соответственно, снижает их цену. При этом три образцовых сигнала на входе тракта преобразования выступают в качестве многозначной меры. Например, применение метода сложного отношения в расходомере газа «Прамер-210» позволило в 10 раз снизить предельную погрешность каналов измерения температуры и давления, выполнив их на основе простых, малопотребляющих электронных компонентов. [16]
В таблице 3 сведены для сравнения уравнения измерения и все рассмотренные характеристики линейного и дробно-линейного (проективного) аналого-цифровых преобразований.



Страница 1 из 2 Следующая

Добавить комментарий


Главная страница » Каталог статей » Статьи о погрешности » Цыбульский О.А., "Сравнение характеристик линейного и дробно-линейного (проективного) аналого-цифровых преобразований"