Чтобы понять основной принцип оценки погрешностей косвенных измерений, следует проанализировать источник этих погрешностей.
Пусть физическая величина Y есть функция непосредственно измеряемой величины х,
Y = f(x).
Величина х имеет погрешность Dх. Именно эта погрешность Dх – неточность в определении аргумента x является источником погрешности физической величины Y, являющейся функцией f(x).
Приращение Dх аргумента х определяет собой приращение функции 
.
Погрешность аргумента Dх косвенно определяемой физической величины Y определяет собой погрешность , где Dх – погрешность физической величины, найденной в прямых измерениях.
Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно
измеряемых величин 
, то, проводя аналогичные рассуждения для каждого аргумента xi, получим:
Очевидно, что погрешность, рассчитанная по этой формуле, является максимальной и соответствует ситуации, когда все аргументы изучаемой функции имеют одновременно максимальное отклонение от своих средних значений. На практике такие ситуации маловероятны и реализуются крайне редко, поэтому следует рассчитывать
погрешность результата косвенных измерений 
.
(Эта формула доказывается в теории ошибок [3,4,5].)
В реальных измерениях относительная точность различных величин хi может сильно отличаться. При этом, если для одной из величин xm выполняется неравенство 
, где i=1,…,m-1,m+1,…,n, то можно считать, что погрешность косвенно определенной величины DY определяется погрешностью Dxm:
Пример.
При измерении скорости V полета пули методом вращающихся дисков, скорость пули V=360lN/j есть результат косвенных измерений, где l – расстояние между дисками, 
, N – число оборотов в единицу времени, известное с точностью 
, j - угол поворота измеренный в градусах 
, следовательно, для углов поворота j £ 70о определяющим точность фактором будет погрешность угла поворота дисков.
Итак, при вычислении погрешности косвенно определяемой физической величины 
надо прежде всего выявить наименее точно определенную в прямых измерениях величину 
и, если 
, считать 
, пренебрегая погрешностями остальных хii¹m.
Рассмотрим наиболее распространенные случаи взаимосвязи физических величин.
- Степенная зависимость
, где p, q - любые числа.
В данном случае проще сначала вычислить относительную погрешность 
.
- Прологарифмируем , получим
- Продифференцируем это равенство:
. - Перейдем от бесконечно малых приращений – дифференциалов к конечным приращениям Dх1, Dх2:
. - Учтем, что Dх1 и Dх2 – величины алгебраические и могут быть как положительными, так и отрицательными. Нашей же целью является выявление максимально возможной погрешности, поэтому нас будет интересовать наихудшая ситуация, которая реализуется при Dх1> 0, а Dх2< 0. Вследствие этого при вычислении погрешности δY все минусы заменяются на плюсы, и мы имеем:
.
Это выражение дает завышенную погрешность. Более точная формула полученная из теории ошибок [3,4,5] имеет вид: 
.
- Следует заметить, что чем больше по модулю показатель степени, тем большую погрешность вносит данная переменная в погрешность результата. В данном случае следует также сравнить
между собой и найти среди них максимальное значение 
. Если 
для всех остальных i¹m, то 
, и абсолютная погрешность 
.
- Логарифмическая зависимость
.
, переходя от дифференциалов к конечным приращениям, имеем:
.
В этом случае абсолютная погрешность DY пропорциональна относительной погрешности 
непосредственно измеряемой величины x. Если Dx= const, то с ростом х DY будет уменьшаться (вот почему графики логарифмических зависимостей как правило отличаются неравновеликими погрешностями DY).
Пример.
При определении тройной точки нафталина необходимо построить зависимость ln P от обратной температуры, где Р давление в мм ртутного столба, определенное с точностью до 1 мм рт. ст.
Рис 1.
Итак, для логарифмических функций вида Y = A logax проще сразу вычислять абсолютную погрешность, которая пропорциональна относительной погрешности переменной x :
