Поиск по сайту:
Главная страница » Каталог статей » Статьи о погрешности » Оценка погрешностей косвенных измерений

Оценка погрешностей косвенных измерений




Чтобы понять основной принцип оценки погрешностей косвенных измерений,  следует проанализировать источник этих погрешностей.

Пусть физическая величина Y есть функция непосредственно измеряемой  величины х,
Y = f(x).

Величина х имеет погрешность Dх. Именно эта погрешность Dх – неточность в определении аргумента x является источником погрешности физической величины Y, являющейся функцией f(x).

Приращение Dх аргумента х определяет собой приращение функции .

Погрешность аргумента Dх косвенно определяемой физической величины Y определяет собой погрешность , где Dх – погрешность физической величины, найденной в прямых измерениях.

Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно
измеряемых величин , то, проводя аналогичные рассуждения для каждого аргумента xi, получим: 
                                  

Очевидно, что погрешность, рассчитанная по этой  формуле, является максимальной и соответствует ситуации, когда все аргументы изучаемой функции имеют одновременно максимальное отклонение от своих средних значений. На практике такие ситуации маловероятны и реализуются крайне редко, поэтому следует рассчитывать
 погрешность результата косвенных измерений  .
(Эта формула доказывается в теории ошибок [3,4,5].)
В реальных измерениях относительная точность различных величин хi может сильно отличаться. При этом, если для одной из величин xm выполняется неравенство , где i=1,…,m-1,m+1,…,n, то можно считать, что погрешность косвенно определенной величины DY определяется погрешностью Dxm:

Пример.
При  измерении скорости V полета пули методом вращающихся дисков, скорость пули V=360lN/j  есть результат косвенных измерений, где l расстояние между дисками, , N – число оборотов в единицу времени, известное с точностью , j - угол поворота измеренный в градусах , следовательно, для углов поворота j £ 70о определяющим точность фактором будет погрешность угла поворота дисков.

 

Итак, при вычислении погрешности косвенно определяемой физической величины  надо прежде всего выявить наименее точно определенную в прямых измерениях величину  и, если , считать , пренебрегая погрешностями остальных хii¹m.

Рассмотрим наиболее  распространенные случаи взаимосвязи физических величин.

  • Степенная зависимость , где  p, q - любые  числа.

В данном случае проще сначала вычислить относительную погрешность  .

  • Прологарифмируем  , получим
  • Продифференцируем это равенство: .
  • Перейдем от бесконечно малых приращений – дифференциалов к конечным приращениям Dх1, Dх2: .
  • Учтем, что Dх1  и   Dх2  – величины алгебраические и могут быть как положительными, так и отрицательными. Нашей же целью является выявление максимально возможной погрешности, поэтому нас будет интересовать наихудшая ситуация, которая реализуется при Dх1> 0, а Dх2< 0. Вследствие этого при вычислении погрешности δY все минусы заменяются на плюсы, и мы имеем:    .

Это выражение дает завышенную погрешность. Более точная формула полученная из теории ошибок [3,4,5] имеет вид:                           .

  • Следует заметить, что чем больше по модулю показатель степени, тем большую погрешность вносит данная переменная в погрешность результата. В данном случае следует  также сравнить  между собой и найти среди них максимальное значение . Если  для всех остальных i¹m, то ,  и абсолютная погрешность .

 

  • Логарифмическая зависимость  .

, переходя от дифференциалов к конечным  приращениям, имеем:
.
В этом случае абсолютная погрешность DY пропорциональна  относительной погрешности непосредственно измеряемой величины x. Если Dx= const, то с ростом х  DY  будет уменьшаться (вот почему графики логарифмических зависимостей  как правило отличаются неравновеликими погрешностями DY).
Пример.

При определении тройной точки нафталина необходимо построить зависимость ln P от обратной  температуры, где Р давление в мм ртутного столба, определенное с точностью до 1 мм рт. ст.

Рис  1.
            Итак, для логарифмических функций  вида  YA logax   проще сразу вычислять абсолютную погрешность,  которая пропорциональна относительной погрешности  переменной x :  


Добавить комментарий


Главная страница » Каталог статей » Статьи о погрешности » Оценка погрешностей косвенных измерений